Teorema del Dini

Il teorema del Dini (o teorema della funzione implicita) fornisce le condizioni sotto le quali un’equazione del tipo $F(x, y) = 0$ definisce localmente una funzione $y = f(x)$.

Enunciato (Caso 2D)

Sia $F(x, y)$ una funzione con derivate parziali continue in un intorno di $(x_0, y_0)$ tale che $F(x_0, y_0) = 0$. Se la derivata parziale rispetto a $y$ nel punto è non nulla: $\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0) \neq 0$ allora esiste un intorno del punto in cui l’equazione definisce univocamente una funzione $y = f(x)$ tale che $F(x, f(x)) = 0$.

Derivata Implicita

In tali condizioni, la derivata della funzione $f$ è data da: $f'(x) = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$

Significato Ingegneristico

• Equazioni di Stato: In termodinamica, le relazioni tra pressione, volume e temperatura ($P, V, T$) sono spesso espresse in forma implicita. Il teorema del Dini permette di calcolare i coefficienti di espansione o compressibilità derivando queste relazioni.
• Curve di Livello: In cartografia o fluidodinamica, permette di calcolare la pendenza delle linee di isolivello (es. isobare, isoterme) direttamente dal campo scalare.
• Robotica: Risoluzione della cinematica inversa, dove le posizioni dei giunti sono legate alla posizione dell’end-effector da equazioni implicite non lineari.