Ordine di Infinito e Infinitesimo

Il confronto tra ordini di infinito e infinitesimo permette di stabilire quale tra due funzioni “vince” nel tendere al limite, quantificando la loro velocità relativa di crescita o decrescita.

Definizioni

Date due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ che tendono entrambe a $\infty$ (infiniti) o entrambe a $0$ (infinitesimi) per $x \to x_0$:

1. Stesso Ordine: Se $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = L \neq 0$. Le funzioni “corrono” alla stessa velocità.
2. Ordine Superiore: Se il limite del rapporto è $\infty$ (per gli infiniti) o $0$ (per gli infinitesimi).
3. Equivalenza Asintotica: Se il limite è $1$. Si scrive $f(x) \sim g(x)$.

Simboli di Landau

• o-piccolo ($o(g)$): $f = o(g)$ significa che $f$ è trascurabile rispetto a $g$ nel limite considerato.
• O-grande ($O(g)$): $f = O(g)$ significa che $f$ è limitata superiormente da una costante per $g$.

Gerarchia degli Infiniti ($x \to \infty$)

La velocità di crescita segue questo ordine crescente: $\log_a x \ll x^n \ll e^x \ll x^x$ Qualsiasi potenza di $x$ “vince” sempre sul logaritmo, e qualsiasi esponenziale “vince” su ogni potenza.

Significato Ingegneristico

• Complessità Computazionale: La notazione $O(n)$ è lo standard per misurare le prestazioni degli algoritmi al crescere dell’input.
• Stabilità Asintotica: Determinare se un errore o un disturbo è un infinitesimo di ordine superiore rispetto al segnale utile è cruciale per la robustezza dei controlli.
• Approssimazioni: Trascurare gli infinitesimi di ordine superiore (gli $o(x^n)$) è alla base della linearizzazione di sistemi non lineari.