Il confronto tra ordini di infinito e infinitesimo permette di stabilire quale tra due funzioni “vince” nel tendere al limite, quantificando la loro velocità relativa di crescita o decrescita.
Definizioni
Date due funzioni f(x) e g(x) che tendono entrambe a \infty (infiniti) o entrambe a 0 (infinitesimi) per x \to x_0:
- Stesso Ordine: Se \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = L \neq 0. Le funzioni “corrono” alla stessa velocità.
- Ordine Superiore: Se il limite del rapporto è \infty (per gli infiniti) o 0 (per gli infinitesimi).
- Equivalenza Asintotica: Se il limite è 1. Si scrive f(x) \sim g(x).
Simboli di Landau
- o-piccolo (o(g)): f = o(g) significa che f è trascurabile rispetto a g nel limite considerato.
- O-grande (O(g)): f = O(g) significa che f è limitata superiormente da una costante per g.
Gerarchia degli Infiniti (x \to \infty)
La velocità di crescita segue questo ordine crescente: \log_a x \ll x^n \ll e^x \ll x^x Qualsiasi potenza di x “vince” sempre sul logaritmo, e qualsiasi esponenziale “vince” su ogni potenza.
Significato Ingegneristico
- Complessità Computazionale: La notazione O(n) è lo standard per misurare le prestazioni degli algoritmi al crescere dell’input.
- Stabilità Asintotica: Determinare se un errore o un disturbo è un infinitesimo di ordine superiore rispetto al segnale utile è cruciale per la robustezza dei controlli.
- Approssimazioni: Trascurare gli infinitesimi di ordine superiore (gli o(x^n)) è alla base della linearizzazione di sistemi non lineari.