Omografia

Un’omografia (o proiettività) è un isomorfismo tra spazi proiettivi: una biiezione che manda rette in rette e preserva la struttura proiettiva (incidenza e birapporto). È la trasformazione fondamentale della geometria proiettiva.

Vedi anche: Geometria Proiettiva, Birapporto, Affinità.

Definizione

Un’omografia $f: \mathbb{P}^n(K) \to \mathbb{P}^n(K)$ è indotta da una matrice invertibile $A \in GL(n+1, K)$:

$f([x_0 : x_1 : \cdots : x_n]) = [A\mathbf{x}]$

Due matrici $A$ e $\lambda A$ ($\lambda \neq 0$) inducono la stessa omografia. Il gruppo delle omografie è quindi:

$PGL(n, K) = GL(n+1, K) / K^*$

Proprietà

• Ogni omografia di $\mathbb{P}^n$ è determinata dall’immagine di $n+2$ punti in posizione generale (nessun sottoinsieme di $n+1$ è contenuto in un iperpiano).
• Nel piano ($n = 2$): un’omografia è determinata da 4 punti in posizione generale (nessun 3 allineati) e le loro immagini.
• Un’omografia conserva il birapporto (vedi: Birapporto) e l’incidenza (punti su una retta restano su una retta).

Punti Uniti

Un punto unito di un’omografia $f$ è un punto fisso: $f(P) = P$. Per il teorema di Lefschetz (e per il teorema fondamentale dell’algebra), un’omografia di $\mathbb{P}^n$ ha almeno un punto unito su $\mathbb{C}$ (corrisponde agli autovettori di $A$).

Prospettività

Una perspettività (o prospettività) è l’omografia più elementare: la proiezione di una retta su un’altra a partire da un punto (centro di perspettività). Due figure prospettive a partire da un centro sono in relazione di prospettività.

Una proiettività è sempre composizione di un numero finito di prospettività.

Teorema di Desargues

Enunciato: due triangoli sono in perspettività centrale (le rette che uniscono vertici corrispondenti sono concorrenti) se e solo se sono in perspettività assiale (i punti di intersezione dei lati corrispondenti sono collineari).

Il teorema di Desargues è vero in $\mathbb{P}^n$ per $n \geq 3$ e in $\mathbb{P}^2$ se il piano è coordinabile su un campo (è un assioma nei piani proiettivi non coordinabili).

Teorema di Pappo

Enunciato: se $A, B, C$ sono tre punti su una retta e $A', B', C'$ su un’altra, le intersezioni $AB' \cap A'B$, $AC' \cap A'C$, $BC' \cap B'C$ sono collineari.

Il teorema di Pappo equivale alla commutatività del campo scalare: vale in $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ e $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$, non in piani su corpi non commutativi.

Applicazioni ingegneristiche

• Visione artificiale: l’omografia tra due immagini di una scena planare si stima con l’algoritmo DLT (Direct Linear Transform) da 4 corrispondenze di punti; è la base della rettifica di immagini e della stima della posa.
• Fotogrammetria e mosaicing: l’allineamento di immagini panoramiche usa omografie per compensare la rotazione pura della telecamera.
• Proiezione su superfici (video mapping): le omografie calibrate permettono di proiettare immagini distorte su superfici piane o poligonali in modo da apparire corrette al punto di vista del pubblico.