Momento Statistico

I momenti sono una serie di indicatori che permettono di descrivere in modo quantitativo la forma e le caratteristiche di una distribuzione di probabilità. Il concetto è mutuato dalla meccanica (momento di inerzia, momento di una forza).

Momenti Ordinari (rispetto all’origine)

Il momento ordinario di ordine $k$ (indicato con $\mu'_k$) è il valore atteso della variabile elevata alla potenza $k$: $\mu'_k = E[X^k]$

• Per $k=1$, si ottiene il Valore Atteso (media).

Momenti Centrati (rispetto alla media)

Il momento centrato di ordine $k$ (indicato con $\mu_k$) è il valore atteso della deviazione dalla media elevata alla potenza $k$: $\mu_k = E[(X - E[X])^k]$

• Per $k=1$, il momento centrato è sempre 0.
• Per $k=2$, si ottiene la Varianza.

Momenti Standardizzati

Sono momenti centrati divisi per la deviazione standard elevata alla $k$: $\tilde{\mu}_k = \frac{E[(X - \mu)^k]}{\sigma^k}$

• Per $k=3$, si ottiene l’Asimmetria (Skewness).
• Per $k=4$, si ottiene la Curtosi.

Significato Ingegneristico

• Caratterizzazione di Segnali: In elaborazione dei segnali, i momenti superiori sono usati per distinguere tra diversi tipi di rumore o per rilevare anomalie (es. il “kurtosis test” per identificare vibrazioni anomale nei cuscinetti).
• Ingegneria Strutturale: Esiste un’analogia diretta tra i momenti statistici e i momenti geometrici delle sezioni (la media è il baricentro, la varianza è il momento d’inerzia).
• Approssimazione di Distribuzioni: Spesso, conoscendo solo i primi 2 o 3 momenti di un fenomeno complesso, gli ingegneri possono approssimare la distribuzione reale con una distribuzione nota (metodo dei momenti).

Vedi anche: Valore Atteso, Varianza, Funzione Generatrice dei Momenti.