I momenti sono una serie di indicatori che permettono di descrivere in modo quantitativo la forma e le caratteristiche di una distribuzione di probabilità. Il concetto è mutuato dalla meccanica (momento di inerzia, momento di una forza).
Momenti Ordinari (rispetto all’origine)
Il momento ordinario di ordine k (indicato con \mu'_k) è il valore atteso della variabile elevata alla potenza k: \mu'_k = E[X^k]
- Per k=1, si ottiene il Valore Atteso (media).
Momenti Centrati (rispetto alla media)
Il momento centrato di ordine k (indicato con \mu_k) è il valore atteso della deviazione dalla media elevata alla potenza k: \mu_k = E[(X - E[X])^k]
- Per k=1, il momento centrato è sempre 0.
- Per k=2, si ottiene la Varianza.
Momenti Standardizzati
Sono momenti centrati divisi per la deviazione standard elevata alla k: \tilde{\mu}_k = \frac{E[(X - \mu)^k]}{\sigma^k}
- Per k=3, si ottiene l’Asimmetria (Skewness).
- Per k=4, si ottiene la Curtosi.
Significato Ingegneristico
- Caratterizzazione di Segnali: In elaborazione dei segnali, i momenti superiori sono usati per distinguere tra diversi tipi di rumore o per rilevare anomalie (es. il “kurtosis test” per identificare vibrazioni anomale nei cuscinetti).
- Ingegneria Strutturale: Esiste un’analogia diretta tra i momenti statistici e i momenti geometrici delle sezioni (la media è il baricentro, la varianza è il momento d’inerzia).
- Approssimazione di Distribuzioni: Spesso, conoscendo solo i primi 2 o 3 momenti di un fenomeno complesso, gli ingegneri possono approssimare la distribuzione reale con una distribuzione nota (metodo dei momenti).
Vedi anche: Valore Atteso, Varianza, Funzione Generatrice dei Momenti.