Geometria Proiettiva

La geometria proiettiva è la geometria degli spazi proiettivi, in cui si eliminano i casi eccezionali della geometria euclidea (rette parallele, punti all’infinito) unificandoli in un quadro coerente: in geometria proiettiva due rette distinte si incontrano sempre in esattamente un punto.

Vedi anche: Affinità, Omografia, Birapporto.

Spazio Proiettivo $\mathbb{P}^n(K)$

Lo spazio proiettivo $n$ -dimensionale sul campo $K$ è l’insieme delle rette vettoriali di $K^{n+1}$ :

$\mathbb{P}^n(K) = \bigl(K^{n+1} \setminus \{\mathbf{0}\}\bigr) / \sim$

dove $(x_0, \ldots, x_n) \sim (y_0, \ldots, y_n)$ se esiste $\lambda \neq 0$ tale che $y_i = \lambda x_i$ per ogni $i$ .

Un elemento di $\mathbb{P}^n(K)$ è una classe di equivalenza $[x_0 : x_1 : \cdots : x_n]$ , chiamate coordinate omogenee. Le coordinate omogenee sono definite a meno di un fattore moltiplicativo non nullo.

Punti Propri e Punti all’Infinito

La geometria affine $K^n$ si immerge in $\mathbb{P}^n(K)$ tramite:

$(x_1, \ldots, x_n) \mapsto [1 : x_1 : \cdots : x_n]$

I punti con $x_0 \neq 0$ si chiamano punti propri (o finiti); quelli con $x_0 = 0$ sono i punti all’infinito (o impropri), e formano un iperpiano $\mathbb{P}^{n-1}(K)$ detto iperpiano all’infinito.

Due rette parallele nel piano affine si incontrano nello stesso punto all’infinito in $\mathbb{P}^2(K)$ .

Sottospazi Proiettivi

Un sottospazio proiettivo di dimensione $k$ in $\mathbb{P}^n(K)$ è la proiettivizzazione di un sottospazio vettoriale di dimensione $k+1$ in $K^{n+1}$ .

Formula di Grassmann proiettiva: per due sottospazi $A$ e $B$ :

$\dim(A \cap B) = \dim A + \dim B - \dim(A \cup B)$

(con la convenzione che $\dim \emptyset = -1$ ).

Casi notevoli in $\mathbb{P}^2$ : due rette ( $\dim 1$ ) si intersecano sempre in un punto ( $\dim 0$ ); per la Grassmann: $0 = 1 + 1 - 2$ .

Principio di Dualità

In $\mathbb{P}^2$ , punti e rette sono duali: ogni enunciato che coinvolge punti e rette rimane vero scambiandoli. Vedi: Dualità Proiettiva.