Funzione di Massa di Probabilità

La Funzione di Massa di Probabilità (PMF - Probability Mass Function) descrive la distribuzione di probabilità di una Variabile Aleatoria Discreta. Per ogni valore $x$ nel supporto della variabile, la PMF restituisce la probabilità esatta che la variabile assuma quel valore.

Definizione

Data una variabile aleatoria discreta $X$, la PMF $p_X(x)$ è definita come: $p_X(x) = P(X = x)$

Proprietà Fondamentali

1. Positività: $0 \leq p_X(x) \leq 1$ per ogni $x$.
2. Condizione di Normalizzazione: La somma di tutte le masse di probabilità deve essere pari a 1: $\sum_{x_i \in \text{supp}(X)} p_X(x_i) = 1$
3. Calcolo della Probabilità di Eventi: Per un qualsiasi evento $A$ (sottoinsieme del supporto): $P(X \in A) = \sum_{x \in A} p_X(x)$

Rappresentazione Grafica

La PMF viene solitamente rappresentata tramite un diagramma ad aste (o “a pettine”), dove l’altezza di ogni asta in corrispondenza di $x$ rappresenta il valore $p_X(x)$.

Significato Ingegneristico

• Analisi di Reti: La PMF del numero di utenti connessi a un access point Wi-Fi permette di dimensionare correttamente la banda larga necessaria.
• Microelettronica: Nello studio dei difetti di fabbricazione dei chip su un wafer, la PMF descrive la probabilità di avere $0, 1, 2, \dots$ difetti per unità di area (spesso modellata con una distribuzione di Poisson).
• Logistica: La PMF della domanda giornaliera di un pezzo di ricambio è essenziale per ottimizzare i livelli di scorta nel magazzino (Inventory Management).

Vedi anche: Funzione di Densità di Probabilità, Variabile Aleatoria Discreta.