Angoloide

Un angoloide (o angolo poliedrico) è la generalizzazione del triedro a $n$ facce: figura formata da $n$ semipiani uscenti dallo stesso vertice.

Il cono è il caso limite con infiniti semipiani. Un angolo solido si misura in steradianti (sr); l’angolo solido totale attorno a un punto è $4\pi$ sr.

L’angolo solido sotteso da una superficie $S$ rispetto a un punto $O$ è:

$\Omega = \iint_S \frac{\hat{n} \cdot \hat{r}}{r^2}\, dA$

Steradiante

Lo steradiante (sr) è l’unità SI dell’angolo solido. Corrisponde all’angolo solido sotteso da una calotta sferica di area $r^2$ su una sfera di raggio $r$. L’angolo solido totale attorno a un punto è $4\pi\ \text{sr}$ (superficie di una sfera unitaria = $4\pi r^2$, con $r = 1$).

Valori notevoli:

• Emisfero: $\Omega = 2\pi\ \text{sr}$
• Sfera completa: $\Omega = 4\pi \approx 12{,}57\ \text{sr}$
• Cono circolare di semiangolo $\theta$: $\Omega = 2\pi(1 - \cos\theta)\ \text{sr}$

Applicazioni ingegneristiche

Fotometria e radiometria: la luminanza $L$ di una sorgente si misura in watt per steradiante ($\text{W/sr}$); il flusso luminoso si ottiene integrando $L$ sull’angolo solido emesso. L’intensità luminosa della candela (unità SI) è definita in candela = lumen/steradiante.

Antenne: il guadagno direttivo di un’antenna è il rapporto tra l’intensità in una direzione preferenziale e quella di un’antenna isotropa che irradia uniformemente su $4\pi\ \text{sr}$. Un’antenna con guadagno $G$ concentra l’intera potenza in un angolo solido effettivo $\Omega_{eff} = 4\pi/G$.

Ingegneria nucleare e trasferimento di calore radiativo: la radiazione termica da una superficie si propaga secondo la legge di Lambert $I = I_0 \cos\theta$; il flusso totale emesso dall’emisfero si ottiene integrando $I$ sull’angolo solido emisferico $2\pi\ \text{sr}$.

Vedi anche: Diedro, Triedro.