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Coppie inferiori

Si chiamano coppie inferiori le coppie che realizzano la prima delle due alternative per ciascuna delle quattro proprietà enunciate in precedenza, e cioè che risultano simultaneamente: rigide, combacianti, cinematiche ed indipendenti.

Tali proprietà coesistono solo per tre coppie di superfici a contatto:

1. superfici cilindriche (interne) a direttrice non circolare: coppia prismatica (consente la traslazione relativa fra due corpi lungo un asse comune; è generalmente indicata con la lettera P: lascia 1 grado di libertà (1 traslazione) al movimento relativo: sopprime 5 gradi di libertà);
2. superfici di rivoluzione non sferiche né cilindriche: coppia rotoidale (consente la rotazione relativa fra due corpi attorno ad un asse comune; è generalmente indicata con la lettera R: lascia 1 grado di libertà (1 rotazione) al movimento relativo: sopprime 5 gradi di libertà);
3. superfici elicoidali (elicoidi): coppia elicoidale (detta anche vite, consente la traslazione e la rotazione relative, sincronizzate fra due corpi lungo un asse comune; è generalmente indicata con la lettera H: lascia 1 grado di libertà (1 traslazione ed 1 rotazione, sincronizzate) al movimento relativo (sopprime 5 gradi di libertà). La coppia impone la relazione lineare fra rotazione e traslazione: s = θp/2π, dove, s indica la traslazione p il passo della coppia e θ l’angolo della rotazione espresso in radianti.

L’assenza anche di uno solo dei quattro caratteri suddetti fa perdere alla coppia la qualifica di inferiore.

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Coppie superiori

Sono dette coppie superiori le coppie che sono prive anche di uno solo dei quattro requisiti che individuano e caratterizzano le coppie inferiori. In generale sono caratterizzate da contatti lineari o puntiformi, se rigide, sono non combacianti, non cinematiche e dipendenti.

Nelle coppie superiori assume un ruolo primario la normale di contatto. Di fatto, il moto relativo tra i due membri della coppia consta in generale di una traslazione lungo una retta nel piano tangente di contatto, strisciamento, e di una rotazione attorno ad un punto di detta normale.

In particolari condizioni, ad esempio in aderenza, questo punto può coincidere con il punto C di contatto: in tal caso sparisce lo strisciamento ed il moto relativo diventa una rotazione attorno a C, rotolamento, e la coppia diventa inferiore dal punto di vista cinematico (perché ha un solo moto relativo).

Il quadro ora descritto è fondato in ogni caso sulla condizione di assenza di componente della velocità relativa sulla normale, condizione che si identifica con l’esistenza stessa del contatto. La presenza di detta componente comporta infatti l’abbandono del contatto, con distacco dei due corpi. Possiamo avere due casi: nel primo caso l’accoppiamento si scioglie e scompare quindi la sua funzione nel meccanismo, nel secondo caso l’accoppiamento ha carattere discontinuo accompagnato da effetti indesiderati ed il più delle volte rovinosi, salvo per quei meccanismi che hanno l’urto come strumento per il loro scopo, come ad esempio le macchine a percussione.

Le coppie inferiori sono di fondamentale importanza nella costruzione delle macchine per varie ragioni tra cui: definiscono moti relativi elementari, sono costituite da superfici combacianti, sono le più facili da realizzare tecnologicamente con precisione.

Le coppie superiori richiedono lavorazioni di produzione più complesse e precise, peraltro ampiamente permessa dalle capacità attuali della tecnologia meccanica. Il fatto di lasciare ai membri accoppiati maggiore libertà di movimento le fa spesso preferire alle coppie inferiori in quanto portano ad un numero minimo di membri minore con catene cinematiche meno complesse; è evidente infatti che in dato meccanismo l’ottenimento di uno stesso tipo di moto relativo richiederebbe un numero di coppie inferiori maggiore di quelle superiori, con conseguente aumento del numero di membri. C’è tuttavia, come inconveniente, una maggiore esposizione di vibrazioni, urti e rumore.

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Coppie con membri flessibili o con membri fluidi

L’ipotesi di rigidità va intesa comunque come caso limite in quanto per effetto delle azioni dinamiche agenti nascono delle deformazioni (seppur piccole ed impercettibili). Per lo più, queste deformazioni, vengono contrastate conferendo forme opportunamente studiate ai membri o mediante accorgimenti costruttivi di vario genere.

La rigidità viene invece a mancare costituzionalmente, cioè per forma del membro o per stato fisico, in certi tipi di membri impiegati in meccanismi di enorme importanza tecnica, e la mancanza può essere parziale o totale.

Il primo caso si ha con i cosiddetti flessibili (funi, nastri, cinghie, catene) corpi di forma monodimensionale (lunghi e sottili) che sono adatti a resistere esclusivamente a trazione affinché possano diventare membri di macchine solo se nel funzionamento permangono tesi; e poiché gli allungamenti che derivano dalle azioni applicate possono essere assai esigui, vengono ritenuti assialmente rigidi.

Causa l’elevata cedevolezza trasversale che li contraddistingue, che al limite può arrivare a manifestarsi anche senza fornitura di lavoro (i flessibili possono essere accoppiati con membri solidi di forma rotonda, con cominciamento almeno parziale di superfici di contatto).

La coppia flessibile-solido è evidentemente una coppia superiore se non altro perché non indipendente in quanto il contatto si genera ad opera della pressione mutua per effetto della tensione applicata, e dunque con chiusura di forza.

Un caso analogo di rigidità parziale, anch’esso di enorme importanza nelle macchine impiegate nella trasmissione di energia, si ha, sempre con le limitazioni suddette, con membri costituiti da un fluido incompressibile; in un liquido fluente in un tubo oppure in contatto con uno stantuffo in cilindro, oppure, arrivante a velocità in forma di getto su pale di una turbina, sussiste infatti una rigidità volumetrica ma non di forma, sicché il loro impiego è subordinato alla presenza di una pressione che mantenga l’accoppiamento con le pareti solide.

La coppia liquido-solido è evidentemente superiore: essa è infatti combaciante e, con opportune ipotesi, cinematica, ma non è rigida e neanche indipendente essendovi la chiusura di forza operata dalla pressione.

In caso di mancanza totale di rigidità si ha il caso in cui la deformabilità di un membro è invece ricercata e voluta appositamente per vari fini, come ad esempio per l’accumulo ed il rilascio di energia elastica, per graduare l’applicazione di una forza, per misurare una forza per via elastica, eccetera.

Pertanto il membro riceve una forma o possiede uno stato fisico in grado di esaltarla. L’esempio tipico nel campo dei solidi è la ben nota molla elicoidale, componente in cui di solito viene concentrata la presenza di elasticità richiesta ad un meccanismo. Nel campo dei fluidi, invece, è tipico il ricorso ad aeriformi compressibili (gas e vapori) soggetti a compressione con deformazioni anche vistose. In tali casi le coppie sono tutte di tipo superiore (se non altro perché non rigide).

Facendo riferimento al moto su di un piano, i tipi di coppia che si incontrano si riducono ai tre seguenti:

1. coppia prismatica (inferiore), con moto relativo traslatorio;
2. coppia rotoidale (inferiore), con moto relativo rotatorio;
3. coppia di profili coniugati (superiore), in cui il moto relativo è in generale il risultante di una traslazione lungo la tangente di contatto e di una rotazione attorno ad un punto della normale di contatto, riducendosi a pura rotazione (rotolamento) se detto punto è il punto di contatto.

Il problema della definizione del moto relativo di due corpi si generalizza ed al tempo stesso si semplifica sostituendo alle coppie di vincolo (effettive), coppie formate da opportuni enti geometrici semplici: punti e linee, aventi la capacità di conservare il tipo di moto relativo dei membri interessati. Tale sostituzione rientra nel cosiddetto principio dell’equivalenza in virtù del quale una coppia effettiva viene ad essere cinematicamente rappresentata dalla sua coppia equivalente.

Il caso al tempo stesso più semplice e rappresentativo è costituito dalla coppia rotoidale perno-cuscinetto. È evidente che dalla coincidenza delle due superfici cilindriche deriva della dei loro assi, e quindi, nel piano delle loro tracce, cioè dei due punti centri delle circonferenze sezione con il piano del moto. Dunque, la coppia rotoidale è rappresentabile mediante la coppia di due punti coincidenti (punto-punto) ad essa equivalente. Tale conclusione interessa direttamente i cuscinetti a strisciamento ma si estende, con qualche ipotesi aggiuntiva, anche a quelli a rotolamento (volventi, a sfere, a rulli, eccetera).

Analogamente, nella coppia prismatica una retta di uno dei membri coincide permanentemente con una retta dell’altro e quindi la coppia diventa equivalente ad una coppia di rette che si appartengono, con un unico moto possibile: lo scorrimento dell’una sull’altra.

Il concetto di equivalenza di applica, oltreché agli aspetti geometrici-cinematici dell’accoppiamento, anche agli aspetti dinamici (limitatamente però al caso ideale) mentre non è applicabile all’analisi dinamica effettiva e non ha evidentemente senso ai fini della determinazione dello stato tensionale.

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Coppie equivalenti

Nel moto piano le coppie equivalenti si riducono a tre:

1. coppia punto-punto (P-P): rappresenta la coppia rotoidale riducendo le due circonferenze combacianti ai loro centri e quindi a due punti coincidenti; poiché il moto relativo di due punti consiste unicamente nella variazione della distanza tra essi, con grado di libertà pari a 1, il vincolo dell’accoppiamento annulla la loro mobilità relativa; la coppia è caratterizzata dalle seguenti proprietà:
   1. i due punti hanno traiettoria, velocità ed accelerazione identiche (perché coincidono);
   2. i membri di appartenenza dei due punti hanno moto relativo rotatorio (descritto unicamente da una coordinata angolare);
2. coppia punto-linea (P-L): poiché il punto ha 2 gradi di libertà rispetto alla linea (moto lungo essa e variazione della distanza da essa, sulla normale locale) il vincolo di appartenenza riduce i gradi di libertà a 1, essendo eliminato lo spostamento (allontanamento) normale alla linea; la coppia così è caratterizzata dalle seguenti proprietà:
   1. appartenenza del punto (detto punto solitario) alla linea (detta linea di sostegno del moto relativo);
   2. velocità relativa del punto rispetto alla linea disposta sulla tangente di contatto;
   3. moto relativo del membro di appartenenza del punto rispetto a quello di appartenenza della linea, consistente in una rotazione attorno ad un punto della perpendicolare di contatto, con strisciamento lungo la tangente, descritto quindi da due coordinate (spostamento angolare e lineare);
3. coppia linea-linea (L-L): poiché una linea ha 3 gradi di libertà rispetto ad un’altra (le due traslazioni lungo la tangente, la normale di contatto e la rotazione nel piano del moto) il vincolo riduce a due la mobilità essendo eliminato lo spostamento normale alla linea; la coppia è caratterizzata dalle seguenti proprietà:
   1. tangenza delle due linee;
   2. velocità relativa dei due punti in contatto disposta sulla tangente di contatto;
   3. moto relativo dei membri di appartenenza delle due linee (rotatorio attorno ad un punto della normale di contatto e di strisciamento lungo la tangente).

Ricollegandosi a quanto detto sulle proprietà delle coppie, la P-P è inferiore (in quanto lascia 1 grado di libertà ai membri di appartenenza) mentre le P-L e L-L sono superiori (in quanto lasciano 2 gradi di libertà).

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Coppia piana

Una coppia piana è una coppia inferiore che consente il movimento fra due corpi secondo un piano comune, è generalmente indicata con la lettera F: lascia 3 gradi di libertà (2 traslazioni ed una rotazione ortogonale al piano individuato dalle due traslazioni) al movimento relativo (sopprime 3 gradi di libertà).

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Coppia cilindrica

La coppia cilindrica è una coppia inferiore che consente la traslazione e la rotazione relative fra due corpi lungo un asse comune, è generalmente indicata con la lettera C: lascia 2 gradi di libertà (1 traslazione ed 1 rotazione) al movimento relativo (sopprime 4 gradi di libertà).

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Coppia cilindro-piano

La coppia cilindro-piano è una coppia superiore che consente il movimento fra due corpi con 2 traslazioni lungo assi ortogonali, 1 rotazione lungo uno di tali assi, 1 rotazione attorno ad un asse ortogonale al piano individuato dagli assi di traslazione: lascia 4 gradi di libertà (2 rotazioni ed 2 traslazioni) al movimento relativo (sopprime 2 gradi di libertà).

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Coppia sferica

Una coppia sferica è una coppia inferiore che consente il movimento fra due corpi mantenendo un punto in comune, è generalmente indicata con la lettera S: lascia 3 gradi di libertà (3 rotazioni attorno al punto centro della coppia) al movimento relativo (sopprime 3 gradi di libertà).

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Coppia sfera-piano

La coppia sfera-piano è una coppia superiore che consente il movimento fra due corpi con 2 traslazioni lungo assi ortogonali e 3 rotazioni: lascia 5 gradi di libertà (3 rotazioni ed 2 traslazioni) al movimento relativo (sopprime 1 grado di libertà).

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Coppia camma piana

Una coppia camma piana (detta anche camma e piattello) è una coppia superiore che consente il movimento fra due corpi con 1 rotazione attorno ad un asse ed 1 traslazione in un piano ortogonale al precedente: lascia 2 gradi di libertà (1 rotazione ed 1 traslazione ortogonale all’asse di rotazione) al movimento relativo (sopprime 4 gradi di libertà).

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Coppia assoidale

Nella cinematica dei sistemi rigidi, si definisce assoidale o coppia assoidale (insieme dell’assoide fisso e dell’assoide mobile) una superficie rigata generata dall’asse di moto. Poiché la superficie rigata, è diversa a seconda che venga vista da un osservatore solidale con il sistema di riferimento, supposto fisso, rispetto al quale il sistema rigido si muove, si distinguono rispettivamente un assoide fisso, o rigata fissa, e un assoide mobile, o rigata mobile, che nel loro insieme costituiscono la cosiddetta coppia assoidale. Il moto rigido è così descritto sia dall’asse di moto, variabile istante per istante rispetto al corpo, che dall’asse variabile rispetto allo spazio.

Si definisce assoide il luogo degli assi di moto di un sistema rigido in movimento, che da vita ad una superficie rigata (assoidale) generata dall’asse istantaneo di rotazione.

Si distinguono in particolare: assoide fisso e assoide mobile che hanno sempre in comune sia una retta, ossia, l’asse di moto nell’istante considerato, che il piano tangente passante per essa. Un qualsiasi moto rigido può pertanto descriversi facendo rotolare l’assoide mobile su quello fisso e facendolo strisciare lungo l’asse comune. Nel caso in cui il sistema rigido abbia un punto fisso, i due assoidi si riducono a due coni (detti coni di Poinsot) in generale non rotondi, con il vertice nel punto fisso. Nel caso particolare di coni rotondi si ha il moto di precessione.