[Carlo]

Ciao Gianmarco, prova a trasformare la funzione tangente così:

\(\displaystyle{\int} \dfrac{\sin^3x}{\cos^3x}dx\)

e poi risolvi…

[Gianmarco]

ok, ma poi non so come andare avanti…

[Carlo]

Devi cercare di semplificare il più possibile l’integrale e ricondurlo ad una forma più facilmente integrabile. Ad esempio:

\(\displaystyle{\int} \dfrac{\sin^3x}{\cos^3x}dx=\displaystyle{\int}\dfrac{\sin x\sin^2x}{\cos^3x}dx\)

aiutandoti con un formulario di trigonometria puoi ottenere:

\(\displaystyle{\int}\dfrac{\sin x\sin^2x}{\cos^3x}dx=\displaystyle{\int}\dfrac{\sin x\left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)}{\cos^3x}dx\)

prova a continuare tu…

[Gianmarco]

devo trasformare \(\cos(2x)\) in \(2\cos^2x-1\)?

[Carlo]

si esatto, sostituisci facendo attenzione ai segni… c’è un segno negativo davanti!

[Gianmarco]

ok quindi diventa

\(\displaystyle{\int}\dfrac{\sin x\left(\dfrac{1-2\cos^2x+1}{2}\right)}{\cos^3x}dx\)

semplificando…

\(\displaystyle{\int}\dfrac{\sin x\left(1-\cos^2x\right)}{\cos^3x}dx\)

poi divido l’integrale in due?

[Carlo]

si così puoi semplificare e poi calcolarli separatamente

[Gianmarco]

mi viene così… ma non sono sicuro di aver “semplificato le cose” 😂

\(\displaystyle{\int}\dfrac{\sin x}{\cos^3x}dx-\displaystyle{\int}\dfrac{\sin x}{\cos x}dx\)

il secondo integrale mi sembra un integrale immediato ma non mi tornano i segni… il primo invece lo risolvo con il metodo della sostituzione?

[Carlo]

guarda il secondo integrale è semplicissimo ti basta cambiare il segno in modo opportuno da rispettare la formula dell’integrale immediato che da come risultato \(\ln|f(x)|\) (al numeratore c’è la derivata della funzione a denominatore)

\(\displaystyle{\int}\dfrac{\sin x}{\cos^3x}dx+\displaystyle{\int}\dfrac{-\sin x}{\cos x}dx\)

il primo integrale invece lo calcoli per sostituzione… scegli sempre ciò che poi ti si semplifica!

[Gianmarco]

sostituisco \(t=\cos^3x\)? HELP! 🤯

[Carlo]

No, ti basta prendere \(t=\cos x\) che diventa:

\(dt=-\sin x dx\)

\(dx=-\dfrac{1}{\sin x}dt\)

sostituisci nel primo integrale per ottenere:

\(\displaystyle{\int}\dfrac{\sin x}{t^3}\left(-\dfrac{1}{\sin x}\right)dt\)

quindi infine:

\(-\displaystyle{\int}\dfrac{1}{t^3}dt\)

che è un altro semplice integrale immediato…

[Gianmarco]

come risutato mi esce:

\(-\displaystyle{\int}t^{-3}dt=-\left(\dfrac{t^{-2}}{-2} \right)=\dfrac{1}{2t^2}=\dfrac{1}{2\cos^2x}+c\)

quindi complessivamente la soluzione dell’integrale iniziale è:

\(\dfrac{1}{2\cos^2x}+\ln|\cos x|+c\)

?

[Carlo]

esatto 👌

[Gianmarco]

grazie mille!!!

[Gianmarco]

Nuova persecuzione… 😅

\(\displaystyle{\int} \tan^4xdx\)

ho provato a rifare lo stesso procedimento ma non riesco a venirne a capo…

[Carlo]

io ho risolto così…