[ingegnerismo]

Misura di temperatura di gas in rapido movimento

Quando si immerge un sensore di temperatura in una corrente di gas in movimento ad una certa velocità, il flusso viene parzialmente rallentato dal sensore; esiste cioè una zona di ristagno dove, come avviene nel caso dei tubi di Pitot, l’energia cinetica del fluido, trasformandosi in calore (per attrito) ne innalza localmente la temperatura.

È dunque necessario distinguere due temperature:

1. la temperatura statica \(T_s\) che è quella che misurerebbe il sensore se si muovesse in seno al gas alla sua stessa velocità;
2. la temperatura di ristagno \(T_r\), maggiore di quella statica, che è quella misurata dal sensore fermo rispetto al gas in movimento.

La relazione funzionale tra le due temperature citate viene espressa come segue:

\[\dfrac{T_r}{T_s}=1+\dfrac{(K-1)}{2}M^2\]

dalla quale, ricordando che \(M=\dfrac{v}{a}\), essendo \(a=\sqrt{KRTg}\), si ottiene:

\[T_r-T_s=\dfrac{v^2}{2gEc_p}\]

dove:

• \(K\) è il rapporto tra i calori specifici del gas a pressione e a volume costante \(\dfrac{c_p}{c_v}\);
• \(R\) è la costante dei gas;
• \(M\) è il numero di Mach;
• \(v\) è la velocità del fluido;
• \(E\) è l’equivalente meccanico della caloria;
• \(g\) è l’accelerazione di gravità.

Un indice che tenga conto della capacità del sensore di temperatura nel trasformare l’energia cinetica del gas in calore, è rappresentato dal cosiddetto fattore di conversione \(r\), proporzionale all’energia convertita in calore; questo indice si esprime come segue:

\[r=\dfrac{T_i-T_s}{T_r-T_s}\]

dove \(T_i\) è la temperatura indicata. Possiamo avere per \(r\) due casi limite:

1. \(r=1\) il sensore misura la temperatura di ristagno;
2. \(r=0\) il sensore misura la temperatura statica.

Dall’esperienza è noto che per un certo sensore, \(r\) è una costante funzione della geometria del sensore stesso, e che varia di poco con il livello della temperatura misurata, con la pressione del gas e con la sua velocità. Combinando le due equazioni, dunque, otteniamo che:

\[T_s=T_i-\dfrac{rv^2}{2gEc_p}\]

Questa formula ci permette di ottenere la misura della reale temperatura del gas, quando sia nota la temperatura indicata dal sensore di temperatura \(T_i\), il fattore \(r\) e la velocità del gag \(v\), che può essere misurata con un tubo di Pitot.

Il valore di \(r\) dipende dal numero di Prandtl (\(Pr\)) ed in particolare:

• \(r=\sqrt{Pr}\) per flussi laminari;
• \(r=\sqrt[3]{Pr}\) per flussi turbolenti.