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Misura della temperatura

La temperatura è una grandezza fondamentale della fisica, ed è pertanto definita dalla sua stessa procedura di misura. Per la misura della temperatura si usa il termometro, uno strumento sviluppato a partire dai primi anni del XVII secolo. I termometri sono basati sulla proprietà che hanno gas, liquidi e solidi di dilatarsi o contrarsi in funzione delle variazioni di temperatura. Altri tipi di termometri funzionano grazie a fenomeni elettrici. Si possono costruire diversi tipi di termometri che sono tutti basati su sistemi di misura indiretta: invece della temperatura, si misura una variabile termometrica ad essa correlata (ad esempio: l’allungamento di una colonna di mercurio, la corrente in un particolare dispositivo elettronico, la pressione in un ampolla contenente gas, eccetera).

Un primo esempio di rudimentale termometro, denominato barotermoscopio, fu descritto da G. Galilei nel 1592. Boyle e Mariotte perfezionarono il termometro a gas attorno al 1660 sviluppando una precedente idea di Amontons. Infine, Farhenheit inventò il termometro a mercurio nel 1714. Recentemente, col progredire dell’elettronica, si sono resi disponibili a basso costo vari dispositivi di misura di precisione anche molto elevata, quali termocoppie, termistori, termoresistenze.

Bisognerà quindi accertarsi che la relazione tra la variabile termometrica e la temperatura sia biunivoca, ovvero che ad un valore della prima corrisponda uno ed un sol valore della seconda, e viceversa). Successivamente, questi termometri andranno tarati, ossia messi in condizione di dare tutti la stessa indicazione se posti in contatto con lo stesso corpo. La taratura viene effettuata utilizzando i cosiddetti punti fissi (vedi immagine qui sotto), ovvero sistemi di cui è definita esattamente (per convenzione internazionale) la temperatura.

Lord Kelvin (1824-1907) si rese conto che sarebbe stato opportuno disporre, almeno dal punto di vista concettuale, di una scala di temperatura indipendente dalle proprietà di ogni sostanza. Vedremo in seguito come, sulla base del secondo principio della termodinamica, egli riuscì a definire una scala di temperature aventi tali caratteristiche, detta scala termodinamica. Dal punto di vista pratico, questo non porta alcuna complicazione poiché i valori di temperatura misurati col termometro a gas perfetto (e quindi con ogni altro dispositivo empirico ben tarato) sono perfettamente coincidenti con i valori della scala termodinamica.

Accanto alla scala assoluta di temperatura (vale a dire quella del termometro a gas) sopravvivono alcune scale pratiche adottate storicamente in passato: la scala Celsius (detta anche impropriamente centigrada), la scala Fahrenheit, la scala Rankine. Sia la scala Celsius che quella Kelvin dividono l’intervallo di temperatura tra il punto di fusione del ghiaccio e quello di ebollizione dell’acqua in 100 parti: conseguentemente, il grado Celsius e quello Kelvin hanno la stessa ampiezza e le differenze di temperatura hanno lo stesso valore misurate in entrambe le scale. Le scale Rankine e Fahrenheit dividono lo stesso intervallo in 180 parti. La tabella precedente riporta i valori di temperatura delle varie scale in corrispondenza di alcuni punti fissi.

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Strumenti di misura della temperatura

Per la misura della temperatura si usa il termometro, uno strumento sviluppato a partire dai primi anni del XVII secolo. I termometri sono basati sulla proprietà che hanno gas, liquidi e solidi di dilatarsi o contrarsi in funzione delle variazioni di temperatura. Altri tipi di termometri funzionano grazie a fenomeni elettrici.

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Scala internazionale pratica di temperatura

L’uso del termometro campione a gas, per la sua complessità, è limitato ai laboratori specializzati. Si sono quindi misurate le temperature di punti fissi facilmente riproducibili (in genere, punti di fusione o ebollizione di sostanze a pressione atmosferica) allo scopo di consentire tramite essi la taratura dei termometri di uso pratico.

L’insieme di tali punti e le regole che definiscono la interpolazione tra un punto e l’altro costituiscono la scala internazionale pratica di temperatura. Tale scala viene periodicamente sottoposta a revisione ed aggiornamento da parte della Conferenza Internazionale di Pesi e Misure. A titolo di esempio, si riportano alcuni punti della scala nella tabella seguente.

La misura della temperatura è un’operazione che presenta numerose difficoltà, che influiscono sulla determinazione della temperatura effettiva del corpo. Essa non può essere, infatti, misurata mediante delle unità fondamentali delle quali esistono dei campioni; essa può essere solamente determinata attraverso l’impiego di strumenti di misura tarati idonei.

Generalmente tali problemi derivano dalle imperfezioni tecnologiche del sensore di temperatura; ad esempio i termometri di temperatura che normalmente misurano la temperatura per contatto o conduzione, indicano la temperatura che essi stessi assumono e non quella reale del corpo o dell’ambiente che si sta misurando.

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Unità di temperatura termodinamica

Si definisce l’unità di temperatura termodinamica con il kelvin [K], pari a 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell’acqua.

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Errori di misura derivanti da conduzione ed irraggiamento

Consideriamo a titolo di esempio il caso della misura della temperatura di un gas in un forno mediante una termocoppia. La termocoppia rileva la temperatura perché riceve il calore dall’ambiente fino a quando non si è stabilizzato un certo equilibrio. Il calore raggiunge il sensore per effetto della convezione del gas, o eventualmente da altre particelle in sospensione, dall’irraggiamento del forno e per conduzione attraverso il supporto della termocoppia stessa.

La temperatura indicata dalla termocoppia è dunque una funzione di questi fattori ambientali; pertanto sarà necessario considerare separatamente i loro effetti al fine di giudicare o interpretare correttamente il risultato della misura di temperatura.

Prevalentemente, la maggior parte del calore viene trasmesso per convezione tra il gas e la termocoppia. Questa quantità di calore viene espressa dalla seguente relazione:

\[Q_I=KS(T_{gas}-T_{termocoppia})\]

dove \(Q_I\) è la quantità di gas trasferito (Cal/h), \(K\) è il coefficiente di trasmissione termica \(Cal/hm^2\, {^{\circ}C}\) ed \(S\) la superficie del sensore.

La prima difficoltà è quella di trovare \(K\) che corrisponde alle condizioni sperimentali del caso in esame. Infatti \(K\) è funzione della viscosità del gas, della densità, del calore specifico ed in particolare della velocità relativa tra gas e termocoppia. Ad ogni modo apposite tabelle permettono di ricavare il valore di \(K\) note le grandezze citate.

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Effetti dell’irraggiamento

La quantità di calore trasmesso per irraggiamento è funzione della differenza fra la temperatura alla quarta potenza del gas e della termocoppia (esempio precedente). È chiaro che se la termocoppia percepisce la sorgente di calore, dipendentemente dall’entità della differenza anzidetta, può ricevere un contributo di energia addirittura maggiore di quello che riceve per convezione.

È necessario, quindi, disporre la termocoppia in modo che non sia raggiunta dall’irraggiamento della sorgente; a tale scopo essa viene opportunamente schermata.

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Effetti della conduzione

Se il sensore (sempre con riferimento all’esempio precedente) riceve calore per conduzione, ne deriva che vi è una differenza tra la temperatura indicata e quella effettiva, in altre parole il sensore introduce un errore di finezza. I fattori che producono questo errore possono essere minimizzati con opportuni accorgimenti tecnici e talvolta eliminati completamente.

È stato dimostrato che questa tipologia di errore si riduce tanto più, quanto è maggiore il rapporto tra la sezione dell’elemento sensore rispetto alla sezione del filo della termocoppia. Nello specifico, l’errore introdotto dalla conduzione è tanto più piccolo quando maggiore è il prodotto \(\eta L\) essendo:

\[\eta = \sqrt{\dfrac{2h}{kr}}\]

dove: \(h\) è il coefficiente di convezione, \(k\) è la conduttività termica del supporto meccanico del sensore, \(r\) è il raggio del supporto sensore (filo della termocoppia) ed \(L\) è la lunghezza attraverso la quale si ha un determinato salto di temperatura: essa rappresenta l’intensità del gradiente termico lungo il filo della termocoppia.

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Misura di temperatura di gas in rapido movimento

Quando si immerge un sensore di temperatura in una corrente di gas in movimento ad una certa velocità, il flusso viene parzialmente rallentato dal sensore; esiste cioè una zona di ristagno dove, come avviene nel caso dei tubi di Pitot, l’energia cinetica del fluido, trasformandosi in calore (per attrito) ne innalza localmente la temperatura.

È dunque necessario distinguere due temperature:

1. la temperatura statica \(T_s\) che è quella che misurerebbe il sensore se si muovesse in seno al gas alla sua stessa velocità;
2. la temperatura di ristagno \(T_r\), maggiore di quella statica, che è quella misurata dal sensore fermo rispetto al gas in movimento.

La relazione funzionale tra le due temperature citate viene espressa come segue:

\[\dfrac{T_r}{T_s}=1+\dfrac{(K-1)}{2}M^2\]

dalla quale, ricordando che \(M=\dfrac{v}{a}\), essendo \(a=\sqrt{KRTg}\), si ottiene:

\[T_r-T_s=\dfrac{v^2}{2gEc_p}\]

dove:

• \(K\) è il rapporto tra i calori specifici del gas a pressione e a volume costante \(\dfrac{c_p}{c_v}\);
• \(R\) è la costante dei gas;
• \(M\) è il numero di Mach;
• \(v\) è la velocità del fluido;
• \(E\) è l’equivalente meccanico della caloria;
• \(g\) è l’accelerazione di gravità.

Un indice che tenga conto della capacità del sensore di temperatura nel trasformare l’energia cinetica del gas in calore, è rappresentato dal cosiddetto fattore di conversione \(r\), proporzionale all’energia convertita in calore; questo indice si esprime come segue:

\[r=\dfrac{T_i-T_s}{T_r-T_s}\]

dove \(T_i\) è la temperatura indicata. Possiamo avere per \(r\) due casi limite:

1. \(r=1\) il sensore misura la temperatura di ristagno;
2. \(r=0\) il sensore misura la temperatura statica.

Dall’esperienza è noto che per un certo sensore, \(r\) è una costante funzione della geometria del sensore stesso, e che varia di poco con il livello della temperatura misurata, con la pressione del gas e con la sua velocità. Combinando le due equazioni, dunque, otteniamo che:

\[T_s=T_i-\dfrac{rv^2}{2gEc_p}\]

Questa formula ci permette di ottenere la misura della reale temperatura del gas, quando sia nota la temperatura indicata dal sensore di temperatura \(T_i\), il fattore \(r\) e la velocità del gag \(v\), che può essere misurata con un tubo di Pitot.

Il valore di \(r\) dipende dal numero di Prandtl (\(Pr\)) ed in particolare:

• \(r=\sqrt{Pr}\) per flussi laminari;
• \(r=\sqrt[3]{Pr}\) per flussi turbolenti.