Formulario Commentato di Algebra
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Indice
Proprietà delle potenze
Le potenze sono delle operazioni che sostituiscono le moltiplicazioni multiple tra numeri o variabili uguali, semplificandone sia la scrittura che l’elaborazione.
Se l’esponente è maggiore di 1, la potenza è il prodotto di tanti fattori quanti vengono indicati dal numero dell’esponente, tutti uguali alla base. Da questa affermazione si evince che l’esponente debba essere almeno maggiore o uguale a 2, per far si che si abbia almeno una moltiplicazione, ossia due fattori.
Prima proprietà delle potenze
La prima proprietà delle potenze è il prodotto di potenze di uguale base che enuncia: il prodotto tra potenze con uguale base è equivalente ad una potenza con la stessa base ed esponente pari alla somma degli esponenti dei fattori, in termini matematici: \[a^x\cdot a^y = a^{x+y}\]
Seconda proprietà delle potenze
La seconda proprietà delle potenze è il quoziente di potenze di uguale base che enuncia: il quoziente tra potenze di uguale base è una potenza con la stessa base, ma che ha come esponente la differenza degli esponenti; a condizione che l’esponente del secondo fattore sia minore o uguale dell’esponente del primo e con la base diversa da 0, in termini matematici:
\[a^x : a^y = a^{x-y}\] con \(a\neq 0\) e \(x\geq y\).
Terza proprietà delle potenze
La terza proprietà delle potenze è la potenza di una potenza, ovvero una potenza elevata ad un’altra potenza, che ha dunque la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti; in termini matematici:
\[(a^x)^y=a^{x\cdot y}\]
Quarta proprietà delle potenze
La quarta proprietà delle potenze è il prodotto di potenze di uguale esponente, ovvero una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente:
\[a^x\cdot b^x = (a\cdot b)^x\]
Quinta proprietà delle potenze
La quinta proprietà delle potenze è il quoziente di potenze di uguale esponente, ovvero una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente:
\[a^x : b^x = (a : b)^x\] ovviamente con \(b\neq 0\).
Casi particolari
Potenze con esponente pari a 1 oppure a 0, esistono ed hanno comunque significato:
Esponente pari a zero
Elevando a 0 un numero (o una variabile) diverso da 0 si ottiene 1 (se \(a\neq 0\)):
\[a^0=1\]
Esponente pari a uno
Elevando a 1 un numero (o una variabile) si ottiene il numero stesso:
\[a^1=a\]
Esponente negativo
Elevando un numero (o una variabile) a \(-x\) (con \(x>0\)) si ottiene l’inverso del numero stesso:
\[a^{-x}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^x=\dfrac{1}{a^x}\]
Caso impossibile
Non ha significato la potenza con base ed esponente pari a zero:
\[0^0\]
Minimo comune multiplo (m.c.m.)
Si definisce minimo comune multiplo (in breve m.c.m.) di due o più numeri naturali, diversi da 0, il più piccolo numero positivo fra i multipli comuni. In altre parole m.c.m. di due o più numeri è il prodotto di tutti i fattori primi, comuni e non comuni, ognuno preso una sola volta con l’esponente più grande.
Ad esempio, se scomponiamo i numeri 20 e 30, otteniamo che: \(20=2^{2}\cdot5\), \(30=2\cdot3\cdot5\) dunque il minimo comune multiplo di 20 e 30 è 120 perché \(2^{2}\cdot3\cdot5=120\).
Massimo comune divisore (M.C.D.)
Si definisce massimo comune divisore (in breve M.C.D.) di due o più numeri naturali, diversi da 0, il numero naturale più grande per il quale entrambi possono essere divisi. In altre parole il massimo comune divisore di due o più numeri risulta essere il prodotto dei soli fattori primi comuni, ognuno preso una sola volta con l’esponente più piccolo. Ad esempio, come già visto nel paragrafo mcm scomponendo i numeri 20 e 30, otteniamo che il massimo comune multiplo è 10 perché 2 e 5 sono i fattori comuni con l’esponente più basso e quindi \(2\cdot5=10\).
Radicali
La scrittura \(\sqrt[n]{a}\) viene detta radicale n-esimo di \(a\) (detto radicando) dove \(n\), l’indice del radicale, è un numero naturale diverso da zero.
Proprietà dei radicali
Somma e differenza tra radicali
Per calcolare la somma o la differenza tra radicali, questi devono avere stesso radicando e stesso indice del radicale, quindi si esegue la somma o la differenza tra i coefficienti fuori la radice.
\[x\sqrt[n]{a}\pm y\sqrt[n]{a}\pm z\sqrt[n]{a}=(x\pm y\pm z)\sqrt[n]{a}\]
Potenze di radicali
Come già visto per le proprietà delle potenze con esponente razionale.
\[\sqrt[m]{a^n}=\left(\sqrt[m]{a}\right)^n=\left(a^{\frac{1}{m}}\right)^n=a^{\frac{n}{m}}\]
con \(a\geq0\) e \(n,m\in \mathbb{N}-\{0\}\).
Portar fuori, o dentro, un radicando
\[\sqrt[m]{a^nb}=a^{\frac{n}{m}}\sqrt[m]{b}\]
Prodotto di radicali con lo stesso indice
\[\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\]
con $a\geq0$, $b\geq0$ e $n\in \mathbb{N}-\{0\}$.
Quoziente di radicali
\[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\]
con $a\geq0$, $b>0$ e $n\in \mathbb{N}-\{0\}$.
Radice di un radicale
\[\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[mn]{a}\]
con \(a\geq0\) e \(n,m\in \mathbb{N}-\{0\}\).
Radicali quadratici doppi
\[\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{ \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{ \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\]
Razionalizzazione
\[\frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a – b}\]
Prodotti notevoli
I prodotti notevoli si utilizzano in algebra per il calcolo letterale del prodotto tra polinomi. Si dicono notevoli, perché il prodotto tra alcuni particolari polinomi giunge sempre allo stesso risultato.
Per questo motivo è possibile evitare, per questi particolari polinomi, lo svolgimento di tutti i passaggi di calcolo del prodotto, e scrivere dunque, direttamente il risultato così come stabilito dai prodotti notevoli.
Somma per differenza
Quando sussiste il prodotto tra due binomi simili in cui uno dei due presenta l’operatore di somma, mentre l’altro l’operatore sottrazione, il risultato è un binomio costituito dalla differenza fra il quadrato del primo monomio ed il quadrato del secondo:
\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]
È possibile trovare questo caso di prodotto notevole, anche con delle potenze, ma lo svolgimento di calcolo non cambia:
\[(a+b)^3(a-b)^3 = (a^2-b^2)^3\]
La potenza rimane invariata e viene racchiusa tra parentesi nel prodotto notevole svolto. Quindi si applica il cubo del binomio e si risolve l’espressione come segue:
\[(a^2 – b^2)^3 = a^6 – 3a^4b^2 + 3a^2b^4 – b^6\]
Quadrato di un binomio
Il quadrato di un binomio risulta essere un trinomio avente come termini il quadrato del primo termine, il doppio prodotto del primo termine per il secondo e il quadrato del secondo:
\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
\[(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\]
Quadrato di un trinomio
Il quadrato di un trinomio risulta essere un polinomio avente come termini i quadrati dei tre termini del trinomio ed il doppio prodotto di ciascun termine per ogni termine che lo segue:
\[(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\]
\[(A-B+C)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac\]
Cubo di un binomio
Il cubo di un binomio risulta essere un quadrinomio avente come termini il cubo del primo termine, il triplo del quadrato del primo termine per il secondo, il triplo del primo termine per il quadrato del secondo, il cubo del secondo termine:
\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]
\[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\]
Somma e differenza tra cubi
\[a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 – ab + b^2)\]
\[a^3 – b^3 = (a – b) (a^2 + ab + b^2)\]
Potenza n-esima di un binomio
Per il calcolo della potenza \textit{n-esima} di un binomio ci si avvale di due strumenti; il primo è la formula qui di seguito (detta anche \textbf{teorema binomiale}), ed il secondo è il Triangolo di Tartaglia (o di Pascal).
\[(a + b)^n = \sum_{k=0}^n a^{(n-k)} b^k\]
Dimostrazione:
\begin{align*}
(a+b)^4 &= \sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}a^{4-k}b^k=\binom{4}{0}a^{4-0}b^0+\\
&+ \binom{4}{1}a^{4-1}b^1+\binom{4}{2}a^{4-2}b^2+\\
&+ \binom{4}{3}a^{4-3}b^3+\binom{4}{4}a^{4-4}b^4=\\
&= a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4
\end{align*}
Equazioni
Le equazioni sono delle uguaglianze tra monomi o polinomi, per le quali lo scopo è quello di cercare il valore numerico di una (o più) variabile letterale, chiamata \textit{incognita}, che verifica (ossia rende vera) tale uguaglianza.
Il valore numerico così ottenuto è chiamato soluzione o radice dell’equazione.
Equazioni di secondo grado in una incognita
Data \(ax^2+bx+c\) si ricavano le due soluzioni dell’equazione applicando la seguente formula:
\[x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2+2ac}}{2a}\]
Disequazioni
Le disequazioni, al contrario delle equazioni, sono delle disuguaglianze tra monomi, o polinomi, per la quale si cerca il valore numerico di una o più variabili letterale, chiamate incognite (come per le equazioni).
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