Radicali

La scrittura \(\sqrt[n]{a}\) viene detta radicale n-esimo di \(a\) (detto radicando) dove \(n\), l’indice del radicale, è un numero naturale diverso da zero.

Somma e differenza tra radicali

Per calcolare la somma o la differenza tra radicali, questi devono avere stesso radicando e stesso indice del radicale, quindi si esegue la somma o la differenza tra i coefficienti fuori la radice.

\[x\sqrt[n]{a}\pm y\sqrt[n]{a}\pm z\sqrt[n]{a}=(x\pm y\pm z)\sqrt[n]{a}\]

Potenze di radicali

Come già visto per le proprietà delle potenze con esponente razionale.

\[\sqrt[m]{a^n}=\left(\sqrt[m]{a}\right)^n=\left(a^{\dfrac{1}{m}}\right)^n=a^{\dfrac{n}{m}}\]

con \(a\geq 0\) e \(n,m\in \mathbb{N}-\{0\}\).

Portar fuori, o dentro, un radicando

\[\sqrt[m]{a^nb}=a^{\dfrac{n}{m}}\sqrt[m]{b}\]

Prodotto di radicali con lo stesso indice

\[\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\]

con \(a\geq0\), \(b\geq 0\) e \(n\in \mathbb{N}-\{0\}\).

Quoziente di radicali

\[\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\]

con \(a\geq 0\), \(b>0\) e \(n\in \mathbb{N}-\{0\}\).

Radice di un radicale

\[\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[mn]{a}\]

con \(a\geq 0\) e \(n,m\in \mathbb{N}-\{0\}\).

Radicali quadratici doppi

\[\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{ \dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{ \dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\]

Razionalizzazione

\[\dfrac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a – b}\]

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