Esponenziali e potenze

Le potenze sono delle operazioni che sostituiscono le moltiplicazioni multiple tra numeri o variabili uguali, semplificandone sia la scrittura che l’elaborazione. Se l’esponente è maggiore di 1, la potenza è il prodotto di tanti fattori quanti vengono indicati dal numero dell’esponente, tutti uguali alla base. Da questa affermazione si evince che l’esponente debba essere almeno maggiore o uguale a 2, per far si che si abbia almeno una moltiplicazione, ossia due fattori.

Prima proprietà delle potenze

La prima proprietà delle potenze è il prodotto di potenze di uguale base che enuncia: il prodotto tra potenze con uguale base è equivalente ad una potenza con la stessa base ed esponente pari alla somma degli esponenti dei fattori, in termini matematici:

\[a^x\cdot a^y = a^{x+y}\]

Seconda proprietà delle potenze

La seconda proprietà delle potenze è il quoziente di potenze di uguale base che enuncia: il quoziente tra potenze di uguale base è una potenza con la stessa base, ma che ha come esponente la differenza degli esponenti; a condizione che l’esponente del secondo fattore sia minore o uguale dell’esponente del primo e con la base diversa da 0, in termini matematici:

\[a^x : a^y = a^{x-y}\]

con \(a\neq 0\) e \(x\geq y\).

Terza proprietà delle potenze

La terza proprietà delle potenze è la potenza di una potenza, ovvero una potenza elevata ad un’altra potenza, che ha dunque la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti; in termini matematici:

\[(a^x)^y=a^{x\cdot y}\]

Quarta proprietà delle potenze

La quarta proprietà delle potenze è il prodotto di potenze di uguale esponente, ovvero una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente:

\[a^x\cdot b^x = (a\cdot b)^x\]

Quinta proprietà delle potenze

La quinta proprietà delle potenze è il quoziente di potenze di uguale esponente, ovvero una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente:

\[a^x : b^x = (a : b)^x\]

ovviamente con \(b\neq 0\).

Casi particolari

Potenze con esponente pari a 1 oppure a 0, esistono ed hanno comunque significato:

Esponente pari a zero

Elevando a 0 un numero (o una variabile) diverso da 0 si ottiene 1 (se \(a\neq 0\)):

\[a^0=1\]

Esponente pari a uno

Elevando a 1 un numero (o una variabile) si ottiene il numero stesso:

\[a^1=a\]

Esponente negativo

Elevando un numero (o una variabile) a $-x$ (con $x>0$) si ottiene l’inverso del numero stesso:

\[a^{-x}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^x=\dfrac{1}{a^x}\]

Caso impossibile

Non ha significato la potenza con base ed esponente pari a zero:

\[0^0\]

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